Propositions (Logic-1)

Propositions

Propositions are statements or sentences used in logic to express facts, beliefs, or relationships. These statements can be of various types, depending on the way they convey meaning. For instance, some propositions might be simple statements like "It rains," or relational statements such as "India is larger than Japan in land area." They can also be class membership statements like "Some subjects are easy," or "No subjects are easy to study for exams."

In logic, propositions can either be simple (having only one subject and predicate) or compound (having two or more subjects and predicates connected by words that express a meaningful relationship).

a) Traditional Classification of Propositions: Categorical and Conditional

In traditional logic, as developed by Aristotle, only a specific kind of proposition was considered useful for logical arguments: subject-predicate class membership statements, which express that a subject belongs (or doesn’t belong) to a certain class. Aristotle classified these propositions into two main types:

Categorical Propositions: These propositions assert or deny that all or some members of one category (the subject) are included in another category (the predicate). If a proposition’s affirmation or denial does not rely on any condition, it is considered categorical. Categorical propositions can be simple or compound, depending on the number of subjects and predicates.

Conditional Propositions: In contrast, conditional propositions express that one part of the statement is true if another part is true. If a proposition's affirmation or denial relies on a condition, it is conditional. Some interpretations of conditional propositions require them to have at least two subjects and two predicates, with one statement's truth depending on the truth of the other.

b) Four-Fold Classification of Propositions

Propositions are classified based on two main attributes: quality and quantity.

Quality refers to whether the proposition affirms or denies something. It has two types:

Affirmative: The proposition asserts something.

Negative: The proposition denies something.

Quantity refers to the extent or scope of the subject in the proposition, indicating how many members of the subject are included. It has two types:

Singular: Refers to a single individual.

General: Refers to a group or category. General propositions can be further divided into:

Universal: Applies to all members of the subject category.

Particular: Applies to some members of the subject category.

Each proposition must have at least one quality and at least one quantity. This results in six types of traditional propositions: singular affirmative, singular negative, universal affirmative, universal negative, particular affirmative, and particular negative.

c) Reduction of Sentences to Their Logical Forms

To analyze propositions logically, sentences are often simplified or reduced to their essential logical forms. This involves identifying the main components (subjects, predicates, connectors) and eliminating any unnecessary elements. Logical reduction allows us to focus on the fundamental structure of the proposition, making it easier to apply logical rules.

d) Distribution of Terms in A, E, I, O Propositions

In traditional logic, categorical propositions are represented by four standard forms, often labeled A, E, I, and O:

A Propositions (Universal Affirmative): Statements like "All S are P" (e.g., "All humans are mortal"). In these, the subject term is distributed (applies to all members), while the predicate is undistributed.

E Propositions (Universal Negative): Statements like "No S are P" (e.g., "No humans are immortal"). Here, both the subject and predicate terms are distributed, as they apply to all members of their categories in a negative relationship.

I Propositions (Particular Affirmative): Statements like "Some S are P" (e.g., "Some humans are philosophers"). Neither the subject nor predicate terms are distributed, as they only apply to a subset of each category.

O Propositions (Particular Negative): Statements like "Some S are not P" (e.g., "Some humans are not philosophers"). In this case, the subject is undistributed, while the predicate is distributed.

Understanding these forms and the distribution of terms helps in analyzing logical relationships and in determining valid inferences within traditional logic.

मराठी भाषा

प्रस्तावना

प्रस्तावना म्हणजे तर्कशास्त्रात वापरलेली वाक्ये किंवा विधानं, ज्यांचा उपयोग तथ्ये, विश्वास, किंवा नातेसंबंध व्यक्त करण्यासाठी केला जातो. या वाक्यांचे विविध प्रकार असू शकतात, जे त्यांचे अर्थ देण्याच्या पद्धतीवर अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ, काही प्रस्तावना साधी असू शकतात जसे की "पाऊस पडतो," किंवा नातेसंबंधी असू शकतात जसे की "भारताचे क्षेत्रफळ जपानपेक्षा मोठे आहे." त्याचप्रमाणे, वर्ग सदस्यत्व दर्शवणारी वाक्ये देखील असू शकतात, जसे की "काही विषय सोपे आहेत" किंवा "परीक्षेच्या अभ्यासासाठी कोणतेही विषय सोपे नाहीत."

तर्कशास्त्रात प्रस्तावना दोन प्रकारच्या असू शकतात: साधी (फक्त एक विषय व एक विशेषण असलेली) किंवा मिश्र (दोन किंवा अधिक विषय व विशेषण असलेली आणि संबंध दर्शवणारे जोडशब्द असलेली).

a) पारंपारिक वर्गीकरण: श्रेणीबद्ध आणि अटीदार प्रस्तावना

पारंपारिक तर्कशास्त्रात, अरिस्टोटलने फक्त विशिष्ट प्रकारच्या प्रस्तावनांना तर्कास उपयुक्त मानले होते: विषय-विशेषण वर्ग सदस्यत्व विधानं, ज्यात विषय एका विशिष्ट वर्गाचा भाग आहे का याचे वर्णन केले जाते. अरिस्टोटलने या प्रस्तावनांचे दोन मुख्य प्रकारांमध्ये वर्गीकरण केले:

श्रेणीबद्ध प्रस्तावना (Categorical Propositions): या प्रस्तावना असा दावा करतात किंवा नकार देतात की एका वर्गातील सर्व किंवा काही सदस्य दुसऱ्या वर्गात आहेत. जर कोणत्याही अटीवर अवलंबून न राहता प्रस्तावनेचा दावा किंवा नकार केला असेल तर ती श्रेणीबद्ध मानली जाते. श्रेणीबद्ध प्रस्तावना साधी किंवा मिश्र असू शकते.

अटीदार प्रस्तावना (Conditional Propositions): या प्रस्तावना असा दावा करतात की एका भागाचे सत्य दुसऱ्या भागाच्या सत्यावर अवलंबून आहे. जर प्रस्तावनेचा दावा किंवा नकार अटीवर अवलंबून असेल तर ती अटीदार मानली जाते. काही परिभाषांमध्ये, अटीदार प्रस्तावना दोन विषय आणि दोन विशेषण असलेली असते, जिथे एका विधानाचे सत्य दुसऱ्या विधानाच्या सत्यावर अवलंबून असते.

b) प्रस्तावनांचे चार प्रकारांमध्ये वर्गीकरण

प्रस्तावना दोन प्रमुख गुणधर्मांवर आधारित आहेत: गुणवत्ता (Quality) आणि प्रमाण (Quantity).

गुणवत्ता (Quality): हे प्रस्तावनेतील विधान किंवा नकार सूचित करते. याचे दोन प्रकार आहेत:

सकारात्मक (Affirmative): प्रस्तावनेत दिलेल्या माहितीचा दावा करते.

नकारात्मक (Negative): प्रस्तावनेत दिलेल्या माहितीचा नकार करते.

प्रमाण (Quantity): हे प्रस्तावनेतील विषयाच्या क्षेत्रफळाचे प्रतिक आहे, जे किती सदस्यांना समाविष्ट करते हे सूचित करते. याचे दोन प्रकार आहेत:

एकवचनी (Singular): एकाच व्यक्तीला सूचित करते.

सामान्य (General): एक गट किंवा वर्ग सूचित करते. सामान्य प्रस्तावना दोन प्रकारात विभागली जाते:

सार्वत्रिक (Universal): विषयाच्या सर्व सदस्यांना लागू असलेले.

विशिष्ट (Particular): विषयाच्या काही सदस्यांना लागू असलेले.

प्रत्येक प्रस्तावनेत एक गुणवत्ता आणि एक प्रमाण असावे लागते. त्यामुळे, सहा प्रकारच्या पारंपारिक प्रस्तावना मिळतात: एकवचनी सकारात्मक, एकवचनी नकारात्मक, सार्वत्रिक सकारात्मक, सार्वत्रिक नकारात्मक, विशिष्ट सकारात्मक, आणि विशिष्ट नकारात्मक.

c) वाक्यांचे तर्कशास्त्रीय स्वरूपात रूपांतरण

प्रस्तावनांचे तर्कशास्त्रीय विश्लेषण करण्यासाठी, वाक्यांना त्याच्या तर्कशास्त्रीय स्वरूपात घटवले जाते. यात मुख्य घटक (विषय, विशेषण, जोड शब्द) ओळखून अनावश्यक घटक काढले जातात. तर्कशास्त्रीय घटवण प्रस्तावनेची मूळ रचना स्पष्ट करते, ज्यामुळे तर्कशास्त्रीय नियम लागू करणे सोपे होते.

d) A, E, I, O प्रस्तावनांमधील संज्ञांची वितरण

पारंपारिक तर्कशास्त्रात, श्रेणीबद्ध प्रस्तावना चार मानक प्रकारांमध्ये विभागली जाते, ज्यांना A, E, I, आणि O असे लेबल दिले जाते:

A प्रस्तावना (सार्वत्रिक सकारात्मक): जसे "सर्व S हे P आहेत" (उदा. "सर्व मानव नश्वर आहेत"). यात विषय संज्ञा वितरण केलेली असते (सर्व सदस्यांवर लागू), पण विशेषण वितरण केलेले नसते.

E प्रस्तावना (सार्वत्रिक नकारात्मक): जसे "कोणतेही S हे P नाहीत" (उदा. "कोणताही मानव अमर नाही"). यात विषय आणि विशेषण दोन्ही वितरण केलेले असते, कारण ते नकारात्मक नात्यात सर्व सदस्यांवर लागू होते.

I प्रस्तावना (विशिष्ट सकारात्मक): जसे "काही S हे P आहेत" (उदा. "काही मानव तत्त्वज्ञ आहेत"). यात ना विषय ना विशेषण वितरण केलेले असते, कारण ते दोन्ही वर्गांच्या काही सदस्यांवरच लागू असते.

O प्रस्तावना (विशिष्ट नकारात्मक): जसे "काही S हे P नाहीत" (उदा. "काही मानव तत्त्वज्ञ नाहीत"). यात विषय वितरण केलेले नसते, पण विशेषण वितरण केलेले असते.

या स्वरूपांचे व संज्ञा वितरणाचे समज तर्कशास्त्रात तर्कशास्त्रीय संबंध समजण्यासाठी आणि वैध निष्कर्ष निश्चित करण्यासाठी मदत करतात.